高一数学题
问题描述：
在第一象限内,直线y=x上有两动点B,C,点C在点B的上方,／BC／=根号2,在x轴上有定点A(2,0),当B点位于何处时,∠BAC取得最大值?
问题解答：
设∠BAC=∠D S△ABC=AB*ACsin∠BAC/2=BC*2*sin45/2=1 所以AB*ACsin∠BAC=2 用余弦定理 cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=(AB^2+AC^2-2)/2AB*AC 化解，通分 （AB+AC）^2=2+4(1+cosD)/sinD=2+ 4(cos^2D/2)/2sinD/2cosD/2 =(4/tanD/2)+2 当,∠BAC取最大时AB+AC取最小值 AB+AC≥2√AB*AC 当AB=AC时最小 A在BC平分线上 解得AB=AC=√(5/2) 所以sin∠BAC最大值为4/5 B点坐标是(1/2,1/2)
解：做B点垂线于x轴交于B1，C点垂线与x轴交于C1因为/BC/=√2，B，C在线y=x上，又有C在B上，所以从B点作垂线到C点的纵坐标延长线上所围成的图形是等腰直角三角形，所以B和C的横纵坐标都差1。所以设B点为（x,x）C点就是(x+1,x+1)∠BAC=|∠BAB1-∠CAC1因为0<∠BAB1<90°,0<∠CAC1<90°所以|∠BAB1-∠CAC1|<90°由于正切tan(x)在0到90度之间是单调递增的，所以只要tan(x)最大x就是最大所以tan(∠BAB1-∠CAC1)=(tanBAB1-tanCAC1)/(1+tanBAB1tanCAC1)=[x/(x-2)-(x+1)/(x-1)]/{1+[x/(x-2)]×[(x+1)/(x-1)]}=1/(x^2-x+1)当x^2-x+1最小时角最大。x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4小于(x-1/2)^2所以当x=1/2时∠BAC取最大值
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